Introducción.
A nuestro alrededor encontramos cosas que se relacionan entre sí, o que
están en función de algún parámetro, por ejemplo el peso y la altura, la masa
corporal en función del peso y la estatura, los kilómetros recorridos y la
cantidad de gasolina consumida, y muchos ejemplos más.
Al alemán Johann
Dirichlet (1805-1859), se le atribuye la
definición moderna de función como una regla de correspondencia entre dos
conjuntos.
Las funciones pueden ser representadas mediante gráficas, así como llevar a
cabo operaciones entre ellas y ser utilizadas para describir situaciones o fenómenos
que se presentan a diario en nuestro entorno mediante la modelación matemática.
Apertura.
Actividad 1. De manera
individual contesta en la libreta las siguientes preguntas.
Debido al
calentamiento global se ha observado que el nivel del mar está en aumento tal
como lo muestra grafica, observa detalladamente la gráfica y responde a los
siguientes cuestionamientos:
Cuerpo:
Actividad 2. De manera
individual analiza la siguiente información y recupera lo que consideres más
significativo para ti.
Relaciones y funciones.
En el estudio del cálculo diferencial existen conceptos muy importantes
los cuales se definirán a continuación.
Relación y función entre las variables.
Los conceptos de relación y función implican la idea de una
correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, es decir, la formación de
parejas ordenadas (objetos, personas, números, figuras geométricas, etc.). En
el estudio de las diferentes ciencias, como en la vida diaria, seguramente has
escuchado o leído proposiciones como:
·
El cobre
es más denso que el calcio.
·
Carlos es
más alto que Luis
·
5+2=7
·
4<8
|
·
-5<2
·
Nuevo León
está al norte de México
·
El pasaje
del camión cuesta más que el del metro
·
5 divide a
25
|
Estas expresiones como otras permiten tener una noción intuitiva de
relación.
Desde el punto de vista de la matemática, el estudio de las relaciones
tiene gran importancia, ya que sus conclusiones resultan válidas y
aprovechables para las demás ciencias.
Desarrollaremos dos ejemplos para mostrar el concepto de relación,
parejas ordenadas, dominio y contradominio.
Ejemplo 1:
En una tienda de ropa para
caballeros, el dependiente ha ordenado los pantalones en un anaquel, de
acuerdo con sus tallas de cintura y largo.
 |
En esta situación se están manejando
dos conjuntos:
A= {x/x es medida de cintura en
pulgadas} Se lee como: “x tal que x es medida de cintura en pulgadas”
A= {30, 31, 32, 33, 34}
B= {y/y es medida de largo en
pulgadas} Se lee como: “y tal que y es medida de largo en pulgadas”
B= {30, 31, 32, 33, 34}
¿Cuáles tallas diferentes pueden
ofrecerse a la clientela? {(30,30), (30,31), (30,32), (30,33), (30,34),
(31,30), (31,31), (31,32), (31,33), (31,34), (32,30), (32,31), (32,32),
(32,33), (32,34), (33,30), (33,31), (33,32), (33,33), (33,34), (34,30),
(34,31), (34,32), (34,33), (34,34)}
|
Llamamos par ordenado
(a, b) al par cuyo primer elemento “a” pertenece a un conjunto A y cuyo segundo
elemento “b” pertenece a un conjunto B.
Así que a partir de
dos conjuntos A y B, se pueden formar nuevos conjuntos con todas las parejas
ordenadas posibles, formadas al tomar un elemento del conjunto A y otro del B,
en ese orden. Este conjunto recibe el nombre de producto cartesiano o conjunto
producto.
El producto cartesiano
se simboliza:
A x B y se lee “A por
B” A x B= {(30,30),
(30,31),………….……… (34,34)}
Por descripción, se
expresa en la forma siguiente: A x B={(x, y) /x ε A, y ε B} Se lee: La pareja (x, y) tal que “x”
pertenece al conjunto A, “y” pertenece al conjunto B.
El producto cartesiano
se puede representar gráficamente, utilizando diagramas o mediante un sistema
de ejes coordenados.
Ejemplo 2:
Dados los conjuntos A=
{1, 4, 6} B= {2, 3, 7} y la relación R “es mayor que”, obtener el conjunto
solución.
Resolución: el
producto cartesiano de los conjuntos está formado por:
A x B= {(1,2), (1,3),
(1,7), (4,2), (4,3), (4,7), (6,2), (6,3), (6,7)}
Las únicas parejas
relacionadas por la condición “ser mayor que “ son: ARB= {(4,2), (4,3), (6,2),
(6,3)} se llama “relación en A x B” al conjunto de todas las parejas que hacen
verdadera la proposición “es mayor que”.
Se llama dominio de la
relación R al conjunto de las primeras ordenadas que pertenecen a A x B. Para
el ejemplo, tenemos que Dominio= {1, 4, 6}.
Se llama contradominio
o rango de la relación R al conjunto de las segundas ordenadas que pertenecen a
AxB. Para el ejemplo, tenemos que el contradominio = {2, 3, 7}.
En el idioma inglés
para referirse al contradominio se usa la palabra range que se ha traducido al
castellano de diferentes maneras: contradominio, codominio, recorrido y rango.
Relación.
Una relación entre dos conjuntos A y B es una
regla que asocia a cada elemento de A con al menos un elemento de B. Al
conjunto A se le llama dominio de la relación, mientras que al conjunto B se le
llama rango o imagen.
Una relación se puede
indicar mediante cualquiera de las siguientes formas:
• Enunciado
• Tabla de valores
• Ecuación
• Gráfica
• Conjunto de pares ordenados
Conjunto
solución:
Conjunto de parejas ordenadas del producto cartesiano que cumplen ó se relacionan
por medio de una condición establecida.
Ejemplo:
Enunciado: “El área de un círculo varía
directamente con el cuadrado de su radio” Ecuación:
A=π r2
Relaciones funcionales o funciones.- Para
comprender mejor cualquier situación, cualquier fenómeno, es necesario
analizarlo desde los puntos de vista social, económico, matemático, etc.
Analizarlo matemáticamente significa estudiar determinados elementos que
intervienen en cada situación y las relaciones que se establecen entre esos
elementos.
Definición,
dominio, rango y notación de una función
La función es un tipo
especial de relación en la que se establece una condición que nos permite saber
que a un elemento del conjunto A le corresponde uno y sólo uno del conjunto B.
A dicha relación le llamaremos función o aplicación del conjunto A sobre el
conjunto B. Tal función se simboliza como:
f : A → B ó A B →f
que se lee como: “función de A en B”.
En una función todo
elemento de A tiene su correspondiente elemento de B (que recibe el nombre de
imagen de A).
Los elementos de B
(denotados por y) que son imágenes de elementos de A (denotados por x) se
simbolizan como: y = f ( x )
Se lee como: “y es la
imagen de x según la función f” o simplemente como: “y es igual a f de x”.
Se debe tener
presente que toda función es una relación, pero no toda relación es una
función.
Dominio
y rango de una función.
Al conjunto de todos
los elementos de A que pueden aparecer como primeros elementos de la función f
los llamaremos dominio de f y lo denotaremos por Df , mientras que al conjunto de todos los segundos
elementos de B que pueden aparecer como segundos elementos de f los llamaremos rango
o recorrido de f y lo denotaremos por Rf . Al rango también
se le conoce como conjunto de imágenes o contradominio.
Ejemplo: Dada la siguiente
relación ( R ) determina el dominio, rango e indica si es o no función.
1) R= (-5,2), (-3,0), (-1,2), (1,4),
(3,6)
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Dominio: -5, -3,-1, 1,3
Rango: 0, 2, 4, 6
¿Es función? Si es
función porque a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un
elemento del rango.
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2) R= (2,1), (2,4), (2,7), (2,10)
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Dominio: 2
Rango: 1, 4, 7,10
¿Es función? No es función porque un elemento del dominio tiene más de uno
asociado en el rango.
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Actividad 3. De manera individual
determina el dominio y rango de las siguientes relaciones e indica si se trata
de una función
1) R= (1,4), (2,6), (3,9), (4,12),
(5,15)
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Dominio: Rango:
¿Es función?
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2) R= (-6,1), (-3,4), (0,7), (3,10)
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Dominio:
Rango:
¿Es función?
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3) R= (3,-3), (0,-3), (1,-3), (4,
-3), (6,-3)
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Dominio:
Rango:
¿Es función?
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4) R= (1,5), (2,10), (3,15), (4,20),
(5,25)
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Dominio:
Rango:
¿Es función?
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5) R= (0,5), (0,-5), (3,4), (3,-4),
(4,3),(4,-3)
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Dominio:
Rango:
¿Es función?
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Fuente: Libro Análisis
Derivativo de funcione, conalep
Michoacán 2014
Libro Cálculo, CECyTE,N.L 2012
Guía Análisis Derivativo de Funciones, conalep Nuevo León
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